DERIVE

FUNCIONES ELEMENTALES

Archivo de prácticas:
funciones.mth

 

10.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

 

Cómo introducir la expresión analítica de una función

 

Para introducir una función pulsa el icono y escribe su expresión.

 

Una función se introduce directamente en la forma  y = f (x).  Por ejemplo,  y=3x-2  (si se omite “ y = “ se asume por defecto).

 

Cómo representar la función

 

Para representarla, resalta la función colocando el cursor sobre ella.

 

A continuación se pulsa el icono    para abrir la ventana de gráficos 2D. Una vez abierta es necesario volver a pulsar el mismo icono (pero en la ventana 2D-plot) para que se dibuje realmente la gráfica. Cada vez que se pulse el icono, se redibuja la función activa en un nuevo color.

 

También podemos definirla en la forma  f(x):=3x-2.  Esta forma permite tratar varias funciones de  x  simultáneamente.

 

Los iconos de la barra de herramientas de la ventana de gráficos 2D permiten centrar la gráfica y hacer zoom.

 

 

Dibujar la función activa

Borrar la última función

Centrar la imagen en la posición del cursor-cruz

Centrar la imagen en el origen de coordenadas

Ver mayor intervalo en los ejes = reducir la imagen

Ver mayor intervalo del eje OY = reducir la imagen en vertical

Volver a la pantalla de álgebra o de expresiones

 

En la parte inferior izquierda de la pantalla aparecen las coordenadas de la posición del cursor.

 

Practica

 

1. Introduce la expresión  f(x):=x^2-4  y representa la función. Sitúa el cursor en el vértice y en los puntos de corte con los ejes, y anota sus coordenadas. ¿En qué intervalo toma valores negativos

 

2. Representa la función  g(x):=Ö (x^2-4).  Señala su dominio. ¿Qué relación tiene con el intervalo obtenido en el ejemplo anterior?

 

3. Representa las funciones que aparecen en la página 244 de tu libro.

 

4. Estudia los dominios de las funciones del ejercicio propuesto 1 de la página 247 de tu libro. Para ello, representa los radicandos de las funciones radicales y los denominadores de los racionales. Por último, representa la función completa.

 

5. Representa las siguientes funciones lineales (página 248 de tu libro):

 

y=1/2x+4          y=2/3x          y=-4/3(x-2)+7          y=3x-5          y=-2x+7

 

 

6. Representa estas funciones cuadráticas de la página 249 de tu libro:

 

          y=x^2-4x+6        y=x^2-1                        y=-1/2x^2+2x+5          y=2x^2-8x+4

 

          y=x^2-2x+3        y=-x^2-2x-3                  y=x^2-6x+5                  y=x^2-6x+1

 

          y=2x^2-10x+8    y=1/3x^2-x+3               y=1/4x^2+x-2

 

 

10.2 TRANSFORMACIONES DE CURVAS

 

La gráfica de una función sufre transformaciones al modificar su expresión analítica.

 

 “Define” la función  f(x):= x^3-6x^2+9x  y represéntala (elimina previamente todas las gráficas). A continuación, representa las gráficas de  f(x + 5),  f(x - 3),  f(x) + 5,          f(x) - 3,  f(-x),  -f(x),  f(2x),  f(x/2),  2f(x),  f(x)/2. Elimina todas las gráficas.

 

Representa simultáneamente, introduciendo entre corchetes, las funciones [f(x), f(2x+3),0], donde  f(x)  es la función del ejercicio anterior. ¿Puedes explicar su relación?

 

Modifica la definición de  f(x)  y repite alguna de las prácticas anteriores. Basta con que vuelvas a resaltar la expresión correspondiente y la representes. La gráfica se actualizará a la nueva función  f(x).

 

 

10.3 GENERACIÓN DE UNA FAMILIA DE CURVAS

 

Si introduces la siguiente expresión en DERIVE:

 

            VECTOR( ax^2,a,1,5)

 

y pulsas Simplificar, se generarán cinco funciones parabólicas con  a  igual a 1, 2, 3, 4 y 5.

 

Como las cinco expresiones se encuentran entre corchetes, podemos representarlas conjuntamente pulsando el icono correspondiente.

 

 

Observa el efecto y significado del coeficiente  a.

 

Elimina las gráficas y regresa a la pantalla de Álgebra o de introducción de datos.

 

Practica

 

7. Introduce ahora la expresión  VECTOR(ax^2,a,-5,5)  y repite la práctica anterior

      (recuerda que tienes que hacer clic sobre Simplificar).

 

NOTA: Si estando en la ventana de introducción de datos pulsas F3, se copiará la expresión que en ese momento esté resaltada. Puedes copiar la expresión del ejercicio anterior y modificarla.

 

 

8. Vuelve a repetir la práctica anterior con  VECTOR(ax^2,a,0,1,0.2). Esto producirá

       cinco parábolas con  a = 0 (recta),  a = 0,2,  a = 0,4,  a = 0,6,  a = 0,8  y  a = 1.

 

 

9. Introduce y representa las siguientes expresiones para analizar el significado de  b  y

      de  c:

 

a)      VECTOR(x^2+bx,b,1,5)           VECTOR(x^2+bx,b,-5,1)

 

      VECTOR(x^2+bx,b,0,1,0.2)

 

b)      VECTOR(x^2+c,c,1,5)              VECTOR(x^2+c,c,-5,1)

 

      VECTOR(x^2+c,c,0,1,0.2)

 

 

10. Repite el mismo ejercicio para estas expresiones:

 

a) VECTOR(ax^2+x+1,a,1,5)          VECTOR(ax^2+x+1,a,-5,1)

 

     VECTOR(ax^2+x+1,a,0,1,0.2)

 

 

 

b) VECTOR(x^2+bx+1,b,1,5)          VECTOR(x^2+bx+1,b,-5,1)

 

     VECTOR(x^2+bx+1,b,0,1,0.2)

 

c) VECTOR(x^2+x+c,c,1,5)           VECTOR(x^2+x+c,c,-5,1)

 

      VECTOR(x^2+x+c,c,0,1,0.2)

 

11. Introduce la expresión  [a:=RANDOM(8), b:=RANDOM(8), c:=RANDOM(8)]. A continuación define una función parabólica  f(x):=ax^2+bx+c.

 

Escribe  f(x)  y "simplifícalo" repetidamente para generar parábolas al azar. Intenta    predecir su gráfica y represéntala para comprobarlo.

 

Con la expresión  [a:=4-RANDOM(8), b:=4-RANDOM(8), c:=4-RANDOM(8)]  podrás obtener coeficientes negativos.

 

12. Para estudiar funciones lineales introduce y representa las siguientes expresiones:

 

VECTOR(ax+1,a,1,5);    VECTOR(ax+1,a,-5,1);    VECTOR(ax+1,a,0,1,0.2)

 

VECTOR(x+b,b,1,5);      VECTOR(x+b,b,-5,1);      VECTOR(x+b,b,0,1,0.2)

 

13. Para estudiar funciones de proporcionalidad inversa, exponenciales y logarítmicas  sustituye en el ejercicio 15 la expresión ax+1 por 1/(ax),  a^x  y  LOG(x,a) respectivamente. En este último caso, observa qué ocurre y escribe:

 

 VECTOR (LOG(x,a),a,2,5)

 

 

10.4 FUNCIONES INVERSAS

 

La utilidad DERIVE para resolver ecuaciones que se consigue con el icono    solicita respecto a qué variable debe resolverse.

 

En el caso de aparecer varios literales en la expresión, la “solución” se muestra en función de los demás. Por tanto, realmente se trata de “despejar”. Podemos utilizar esta característica para obtener la expresión de la función inversa de una dada pidiendo “resolverla en  x”. No olvides cambiar  x  por  y  en la nueva función y considera que algunas funciones no admiten inversa y otras admiten varias.

 

 

Practica

 

14. Introduce la expresión  y=3x+2. “Resuélvela en  x” con el icono   . Intercambia  x  e  y   en la expresión obtenida (utiliza F3).  Representa la función inicial y su inversa. Observa su simetría.

 

 

15. Repite la práctica anterior con las funciones siguientes:

 

y=x^2                           y=x^2-x+6                             y=2^x

 

 

y=LN(x)                        y=SIN(x)                                y=COS(x)

 

10.5 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

 

Puedes definir funciones en DERIVE en la forma  F(x):= “Expresión en x”.  Debes utilizar  :=  para distinguir entre definición y ecuación. Puedes sustituir la variable  x  por cualquier otra letra.

 

Define la funciones  F(x):=3x+2  y  G(x):=x-5. A continuación “Introduce” y “Simplifica”  F(G(x))  y G(F(x)). Has realizado una composición de funciones. Representa las cuatro funciones obtenidas y trata de comprender su relación.

 

Repite la práctica con otras funciones como  F(x):=x^2-x  y  G(x):=1/x.

 

Considera dos funciones inversas como las obtenidas en los ejemplos anteriores. Comprueba que su composición es la función identidad  y = x.

 

Considera las funciones “valor absoluto”  ABS(x)  y “parte entera”  FLOOR(x). ¿Cómo será su composición con otras funciones?

 

Define  f(x):=x^2-4  y representa las funciones  ABS(f(x))  y  FLOOR(f(x)). Repite la práctica con otras funciones como  SIN(x).